Aire et volume de solides décomposables

Pour calculer l'aire ou le volume de solides décomposables, on procède par décomposition.

Exemple 1

Tu dois recouvrir le silo ci-dessous d'un matériau résistant. Calcule la quantité à commander, sachant que la hauteur du silo est de 40 mètres et son diamètre 10 mètres. De plus, prévoit le coût avant taxes, sachant que ce matériau coûte en moyenne 23$/m².

	Nous désirons recouvrir le silo, on doit donc calculer l'aire totale du silo. Le silo se décompose en deux solides: demi-boule et cylindre droit circulaire. At = A (demi-boule) + Al (cyl.) Fait à noter, on ne recouvre aucune base.	At = A (demi-boule) + Al (cyl.) At = 157,08 + 1099,56 At = 1256,64 m² Coût avant taxes: 1256,64 m² x 23$/m² = 28 902,72$
	___________________________ Demi-boule: A = 2¶r² A = 2¶.5² A = 157,08 m²	___________________________ Cylindre: Al = 2¶rh A = 2¶.5.35 A = 1099,56 m² (La hauteur du cylindre est 35m car la hauteur du silo est 40 m et le rayon de la boule est de 5 m.)

Exemple 2

Un vendeur de gaz propane possède trois réservoirs plein de gaz. Le diamètre de ses réservoirs est de 2m et la longueur est de 10 m. Calcule le volume de gaz contenu dans ses trois réservoirs. Donne ta réponse en litres.

	On doit calculer le nombre de litres contenus dans ce réservoir. Nous calculerons donc le volume. Ce solide est constitué d'une boule (deux demi-boules) et d'un cylindre. V = V (boule) + V (cyl.)	V = V (boule) + V (cyl.) V = 4,19 + 25,13 V = 29,32 m³ V = 29 320 dm³ V = 29 320 litres
	_________________________ Boule: V = 4¶r³/3 V = 4¶.1³/3 V = 4,19 m³	_________________________ Cylindre: V = ¶r²h V = ¶.1².8 V = 25,13 m³ (La hauteur du cylindre est 8 m car la longueur du réservoir est 10 m et le rayon de chaque demi-boule est de 1 m.)

Exemple 3

Vous devez repeindre la maison ci-dessous. Le toit et les murs seront rouges mais dans différents tons. Combien de pots de peinture seront nécessaires (en tout) pour repeindre la maison, sachant qu'un pot couvre 11 m² et que tu dois donner 2 couches afin de bien couvrir les surfaces? Ne tient pas compte des ouvertures (porte et fenêtres).

	Cette maison est constituée d'un prisme droit à base rectangulaire et d'un prisme droit à base triangulaire. Nous recouvrons le solide, donc nous calculerons l'aire de ce solide. At = Al (prisme rect.) + Al (prisme triang.) - A (face latérale prisme triang.) + 2Ab (prisme triang.)	At = Al (prisme rect.) + Al (prisme triang.) - A (face latérale) + 2Ab (prisme triang.) At = 70 + 140 - 40 + 2(5,16) At = 180,32 m² At pour les 2 couches = 360,64 m² 360,64 m²/11m² = 32,79 pots On achètera 33 pots de peinture.
_________________________ Prisme rectangulaire: Al = Pb x h Al = 28 x 2,5 Al = 70 m²	_________________________ Prisme triangulaire: Al = Pb x h Al = 14 x 10 Al = 140 m²	_________________________ Prisme triangulaire: Dans l'aire latérale de ce prime, nous avons calculer l'aire des trois rectangles le constituant. Cependant, nous n'avons accès qu'au deux rectangles sur le dessus de la maison. Nous devons calculer l'aire du rectangle compris entre les deux prismes afin de le retrancher. A rectangle = b x h A rectangle = 4 x 10 A = 40 m²
_________________________ Prisme triangulaire: Les bases de ce prisme sont des triangles isocèles. Pour calculer l'aire d'un triangle, nous avons besoin de sa hauteur. Nous pouvons séparer un triangle isocèle en deux triangles rectangles. Nous pourrons alors appliquer la relation de Pythagore. a² + b² = c² 2² + b² = 5² 4 + b² = 25 b² = 21 b = 4,58 La hauteur du triangle est 4,58 m.	_________________________ Prisme triangulaire: Ab = A triangle Ab = (b x h)/2 Ab = (4 x 4,58)/2 Ab = 5,16 m²

Exemple 4

Calcule le volume d'air contenu dans ce chapiteau. La base de ce chapiteau est un hexagone régulier et la hauteur du chapiteau est 4 mètres.

	Le chapiteau est constitué d'un prisme droit à base hexagonale et d'une pyramide droite à base hexagonale. V = V (prisme) + V (pyramide)	V = V (prisme) + V (pyramide) V = 84,24 + 16,848 V = 101,088 m³
_________________________ Prime à base hexagonale: V = Ab x h V = 33,696 x 2,5 V = 84,24 m³	_________________________ Pyramide à base hexagonale V = Ab x h /3 V = 33,696 x 1,5 / 3 V = 16,848 m³	_________________________ Aire de la base hexagonale: l'hexagone est régulier et se décompose donc en six triangles équilatéraux (vrai que pour l'hexagone). Chaque triangle se sépare en deux triangles rectangles. Pour trouver l'apothème de l'hexagone, nous ferons donc la relation de Pythagore. b² = c² - a² b² = 3,6² - 1,8² b² = 12,96 - 3,24 b² = 9,72 b = 3,12 m L'apothème de l'hexagone mesure 3,12 m. Ab = (p x a)/2 Ab = (21,6 x 3,12)/2 Ab = 33,696 m²