École Polyvalente Charles-Gravel

Mathématiques 436

 

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Objectif: Savoir manipuler les équations polynomiales de degré 2 ou moins.

Équation polynomiale: y = f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres constants

 

1. Si a = 0 et b = 0 (peu importe la valeur de c): FONCTION LINÉAIRE DE DEGRÉ 0

f(x) = c Équation d'une fonction constante ou de degré zéro (l'exposant de x est zéro).

Ex.: f(x) = 3 (même chose que f(x) = 3x0)

Tous les points on une coordonnée y de 3.

Taux de variation: (ne monte ni ne descend)

Ordonné à l'origine: c

Zéro de la fonction: Aucun si f(x) ¹ 0

Nombre infini si f(x) = 0

Intervalles de croissance / décroissance: Aucun

Signe des images: même signe que c

 

2. Si a = 0, b ¹ 0 (peu importe la valeur de c): FONCTION LINÉAIRE DE DEGRÉ 1
f(x) = bx + c Équation du premier degré (l'exposant de x est 1)
On l'écrit habituellement: f(x) = m x + b Ex.: f(x) = 2x + 3

Taux de variation = m (toujours constant)

Il faut 2 points: (x1 , y1) (x2 , y2)

Ordonné à l'origine: b , dans la forme f(x)= mx + b

Zéro de la fonction: résoudre 0 = m x + b

Intervalle de croissance: R si m > 0

Aucun si m £ 0

Intervalle de décroissance: Aucun si m ³ 0

R si m < 0

3. Si a ¹ 0 (peu importe la valeur de b et de c): FONCTION QUADRATIQUE

Forme général: f(x) = ax² + bx + c Équation du second degré (l'exposant de x est 2)

Ex.

générale: f(x) = x² - 2x + 3
canonique: f(x) = (x - 1)² + 4

Forme Canonique: autre façon de présenter une fonction du second degré:

f(x) = a(x - h)² + k où les coordonnées du sommet sont: (h , k)

On passe de la forme canonique à la forme générale en développant l'équation (en la calculant).

On passe de la forme générale à la forme canonique en complétant le carré, où en utilisant
les formules du sommet.

Sommet, pour la forme générale:


Donc: et

Sommet, pour la forme canonique: (h , k) directement écrit dans l'équation f(x) = a(x - h)² + k
Attention ! Il y a toujours un signe négatif ( - ) dans la parenthèse.

Taux de variation: Jamais constant (Dérivé: Math 103/203, Cégep)

Ordonné à l'origine: c

Zéro de la fonction: résoudre 0 = ax² + bx + c


1) en factorisant
2) ou en complétant le carré (suivit d'une différence de 2 carrés)
3) ou en utilisant la formule suivante:

Preuve de la formule des ZÉROS:

 

 

 


On place l'équation de façon à faire apparaître
une différence de 2 carrés.

 

 

On cherche la valeur de x qui annule chaque
parenthèse pour que le produit soit égal à zéro.

Formule des zéros d'une fonction quadratique.

Axe de symétrie: Coordonnée X du sommet (aussi appelée "h")

Influence des paramètres:

a: échelle verticale

À partir du sommet, si on se déplace d'une unité horizontalement, on doit se déplacer
verticalement d'une valeur égale au paramètre " a ".

a positif: parabole orientée vers le haut.

a négatif: parabole orientée vers le bas.

b: translation oblique du sommet.

Si la valeur de b est positive, la parabole sera déplacée suivant une droite positive
Plus la valeur de b s'éloigne de zéro (0) et plus le sommet s'éloigne de l'origine.
Si la valeur de b est négatif, la parabole sera déplacée suivant une droite négative
Plus la valeur de b s'éloigne de zéro (0) et plus le sommet s'éloigne de l'origine.

c: translation verticale du sommet (ordonné à l'origine)

Résoudre une équation quadratique (isoler le X)
    1. Faire égaler l'équation à zéro ;
    2. Trouver les zéros de la fonction.

Trouver l'équation associer à une parabole: 2 méthodes

Première: Avec les zéros de la fonction et un point;

f(x) = a(x² - Sx + P) S: somme des zéros
P: produit des zéros
On remplace x et y par les coordonnées du point et on isole le "a".
Ex. Zéros de la fonction: 1 et -5 S = -4 et P = -5
Point: (-2 , 9)

Deuxième: Avec le sommet et un point;

Forme canonique: on remplace h et k par les coordonnées du sommet,
ET x et y par les coordonnées de l'autre point puis on isole "a".

Ex. Sommet: (-2 , -4)
Point: (1 , 2)