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Considérons deux événements qui sont repérés dans un référentiel
Galiléen R1 par (x1a, y1a, z1a, t
1a) et (x1b, y1b, z1b, t1b);
on appelle carré de l’intervalle séparant ces deux événements l’expression :
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D s
2 = c2(t1b – t1a)2 –
[(x1b – x1a)2 + (y1b – y1a
)2 + (z1b- z1a)2] |
(20) |
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On démontre (en prenant les expressions obtenues par la transformation
de Lorentz) que le carré de l’intervalle est un invariant d’un changement de
référentiel Galiléen; autrement dit, si les deux événements précédents sont repérés dans
un autre référentiel Galiléen R2 par (x2a, y2a, z
2a, t2a) et (x2b, y2b, z2b, t2b
), alors :
c2(t1b – t1a
)2 – [(x1b – x1a)2 + (y
1b – y1a)2 + (z1b- z1a)2] =
c2
(t2b – t2a)2 – [(x2b – x
2a)2 + (y2b – y2a)2 + (z
2b- z2a)2]
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(21) |
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Avant la relativité restreinte, l’invariant vis-à-vis d’un
changement de repère galiléen était l’accélération, et avec la transformation de
Lorentz cet invariant devient, vis-à-vis d’un changement de repère galiléen, le
carré de l’intervalle séparant deux événements.
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Lorsque le carré de l’intervalle est négatif, c’est-à-dire
c2D t12 < (
D x12 + D y
12 + D z12)
on dit que l’intervalle est du genre espace. Les deux événements ne peuvent être
reliés entre eux par quelque signal physique que ce soit de vitesse nécessairement inférieure
à c; ils sont trop éloignés spatialement. On peut dire qu’ils ne peuvent influer
l’un sur l’autre.
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Lorsque le carré de l’intervalle est positif, l’intervalle
est dit du genre temps. Un signal physique peut les relier. Mais de plus, leur ordre
temporel est préservé par tout changement de référentiel galiléen. Le lecteur est invité à
vérifier, à l’aide des formules de transformation de Lorentz, que lorsque
c2
D t12 - (D x
12 + D y12 +
D z12) > 0 , D
t2
est toujours du signe de D t1
; cela permet de définir pour un événement particulier, sans ambiguïté, quel que soit le
référentiel galiléen utilisé, les autres événements qui appartiennent à son passé et ceux
qui appartiennent à son futur parmi ceux qui lui sont séparés par un intervalle du genre
temps. Cette propriété préserve un principe de causalité entre les événements.
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