Longueurs
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Une autre conséquence de la transformation de Lorentz est la contraction des longueurs.

 

La longueur propre d’une règle est, par définition, la longueur de cette règle mesurée dans le référentiel galiléen où cette règle est au repos.

 

Comment mesurer dans un référentiel R1 la longueur d’une règle en mouvement ? En réfléchissant à l’exemple d’un train en mouvement, on voit qu’il faut déterminer dans R1 les positions des extrémités du train au même instant t1 de R1. Il ne nous viendrait pas à l’idée de repérer à un instant la position de la locomotive et, plus tard, la position du wagon de queue.

 

Ainsi, considérons deux référentiels R1 et R2 dans les conditions de la transformation de Lorentz. Une règle de longueur propre L2 est fixe dans R2 et disposée suivant O2x: D x2 = L2. Pour connaître la longueur L 1 = D x1 de cette règle dans R1, il faut déterminer la différence des abscisses de ses extrémités au même instant t1 de R1 à l’aide de la transformation de Lorentz.

 

 

donc :

 

On obtient:

 

 

Cela exprime la contraction des longueurs par le fait qu’une longueur mesurée en mouvement sera plus courte qu’une longueur propre. 

 

L1 n’est pas une longueur propre et elle est effectuée en repérant simultanément au même instant t1 de R1 les extrémités de la règle à mesurer. On peut remarquer par la transformation de Lorentz que le mesure de L2 (la longueur propre) n’est pas une mesure simultanée. En effet :

 

 

Même si t1 est le même dans R1, dans R2 les temps sont différents (t2a ¹ t2b) parce que les positions dans R1 sont différentes et x1a ¹ x1b.

 

On remarque aussi que, comme pour la dilatation du temps, il y a réciprocité du phénomène, conformément au principe de relativité. Autrement dit, une règle de R1 de longueur propre L1 dirigée suivant O1x 1 apparaîtra contractée dans R2 où on lui attribuera la longueur L:

 wpe8.jpg (1573 octets)

 

Enfin, d’après les relations y2 = y1 et z 2 = z1 de la transformation de Lorentz, il résulte immédiatement que la longueur d’une règle placée perpendiculairement à la direction du mouvement est la même dans les deux référentiels.

 

 

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Dernière modification: 12 avril, 2003