On se rappelle l’énoncé du principe de relativité : «  toutes les lois de la physique sont les mêmes dans les référentiels galiléens ». En mécanique classique, on a démontré la conservation de l’énergie totale (énergie cinétique plus énergie interne) et la conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé. Par conséquent, d’après le principe de relativité, il doit en être de même dans la dynamique relativiste.

Or, l’expression classique p = mv de la quantité de mouvement fait apparaître un facteur de proportionnalité scalaire (m) entre la quantité de mouvement et la vitesse d’une particule. En relativité, nous pouvons supposer que la relation entre p et v fait intervenir une fonction dépendant non seulement de la caractéristique m de la particule mais aussi de sa vitesse v.

Nous allons donc essayer de déterminer quelle est la nature de cette fonction à l’aide de l’étude d’une expérience imaginaire de choc entre deux particules, utilisant la loi de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement  : c’est l’expérience de Lewis et Tolman.

Considérons deux observateurs O₁ et O₂, respectivement dans les référentiels R₁ et R₂. R₁ est animé d’un mouvement vers R₂ non accéléré de vitesse +v_e dirigée selon l’axe O ₂x₂ commun aux deux systèmes (voir figure 1).

L’observateur O₁ lance selon l’axe O₁y₁ une sphère B de masse m avec une vitesse –V, tandis que O₂ lance la sphère A de même masse m dans la direction O₂y₂ avec la vitesse V. Ce cas particulier, plus facile à interpréter, ne diminue en rien la généralité des résultats obtenus.

On remarque d’autre part qu’avec les notations choisies, les quantités v _e et V sont des modules.

Les vitesses en x et en y de la masse B sont

Les vitesses en x et en y de la masse A sont

Ce dernier résultat est obtenu à l’aide de l’équation (17) avec v_|| nulle.

Les vitesses en x et en y de la masse B sont

Les vitesses en x et en y de la masse A sont

Les vitesses mesurées par O₂

a) avant le choc

Les vitesses en x et en y de la masse B sont

Les vitesses en x et en y de la masse A sont

b) après le choc (f)

Les vitesses en x et en y de la masse B sont

Les vitesses en x et en y de la masse A sont

Les deux masses entrent en collision au moment où les deux observateurs sont au même endroit (au point de rencontre sur la figure). Le choc est supposé élastique et donc les deux particules sont supposées se trouver dans le même état avant et après le choc.

Les deux observateurs mesurent des masses respectives identiques quand les sphères sont animées de la vitesse ±V. Cependant, puisque nous avons vu que déplacement, temps et vitesse ont des valeurs différentes quand elles sont mesurées dans deux systèmes différents en mouvement relatif, il n’y a pas de raison de supposer à prime abord que la sphère A a une masse m pour O₁ ou bien que la sphère B a aussi la même masse m pour O₂ .

Après la collision, les deux observateurs doivent observer la loi de conservation de la quantité de mouvement (nous avons dit que c’était parce que les deux systèmes devaient obéir au principe de la relativité : observer les mêmes lois). En d’ autres termes, l’observateur O₂ doit observer un changement de la quantité de mouvement de sa sphère A égal et opposé à celui qu’il voit pour la sphère B. De plus, la variation qu’il observe pour sa sphère est égale à celle que l’observateur O₁ voit pour la sienne. Ce dernier point est dû au fait que les deux observateurs voient exactement le même phénomène pour leur sphère respective (il s’agit en effet de masses égales lancées à des vitesses égales dans les référentiels respectifs – ce dernier point n’aurait pas été vrai s’il en avait été autrement).

La conservation de la quantité de mouvement, pour O₂, selon l’ axe x₂ mène à :

La sphère B est lancée par l’observateur O₁ et vue par l’observateur O₂. De l’équation (22), nous déduisons immédiatement

et, de façon identique, pour la sphère A vue de O₁ :

Tout ceci est évident. Cela veut dire qu’un observateur qui observe sa sphère (ou bien celle lancée par l’autre observateur) ne voit pas, lors de la collision, un changement de masse. C’est pour lui un choc élastique « classique » sans modification d’état de la sphère.

La conservation de la quantité de mouvement, pour O₂, selon l’axe y permet d’écrire l’équation :

où V représente le module de la vitesse de la sphère A, après le choc, vue par O ₂, ou bien, d’une manière symétrique, le module de la vitesse de la sphère B, après le choc, vue par O₁.

C’est à ce stade de notre étude que nous allons montrer que l’obéissance au principe de la relativité d’Einstein va nous obliger à considérer les masses mⁱ et m^f comme différentes. En effet, l’équation (23) établit la loi de conservation de la quantité de mouvement. Si nous supposons classiquement que mⁱ = m^f, elle mène à une absurdité : le membre de gauche de l’équation (23) est égal à son inverse (c'est-à-dire à l'inverse du membre de droite). Donc, si la relation (23) n’est pas vérifiée avec mⁱ = m^f, cela veut dire que nous ne pourrons pas accepter le fait classique que les deux masses mⁱ et m^f sont égales.

Alors, que valent-elles ?

L’observateur O₂ qui voit sa sphère A entrer en collision avec la sphère B observe les vitesses des sphères suivantes (en modules) :

la vitesse de A est                                                              V

la vitesse de B est 

où nous avons utilité la relation de Pythagore pour obtenir la vitesse totale.

Les deux particules obéissent aux lois classiques de la dynamique et après la collision, il voit les vitesses respectives (en modules) :

la vitesse de A est                                                              V

la vitesse de B est

Puisque que l’utilisation de la définition classique de la quantité de mouvement (p = mv) dans la loi de conservation de cette quantité mène à une impossibilité, nous allons définir la quantité de mouvement par la nouvelle expression:

où M(v) représente une fonction de la vitesse v et de la masse m de la particule. Donc, p a la direction de v et son module est égal au produit de |v| par une fonction M(v) encore indéterminée.

Nous avons dit que le principe de relativité imposait l’universalité des lois de la physique et puisque c’est à cause de ce postulat que nous avons rejeté l’expression classique de la quantité de mouvement, il faut que cette nouvelle expression (24) soit conforme à ce postulat. On admet donc que dans un système isolé de particules, la quantité de mouvement totale se conserve. Pour revenir à la collision des deux sphères, nous allons appliquer la loi de conservation de la quantité de mouvement, vue par l’observateur O₂.

La loi de conservation de la quantité de mouvement utilisée par O₂ donne les expressions suivantes :

Or, les masses A et B au repos sont égales. On peut laisser tomber les indices. Les fonctions M(V) sont deviennent alors uniquement fonction de la vitesse.

où on a remplacé la vitesse finale de la masse B par sa valeur.

L’équation (25) est vraie quel que soit V. À la limite quand V® 0, on obtient :

On identifie alors M(v_e) avec la masse relativiste de la sphère et M(0) avec la masse au repos de cette même sphère. La relation (26) devient la relation bien connue

où m₀ est la masse au repos et m la masse se déplaçant à la vitesse v. Cette notion de variation de masse en mécanique relativiste amène, comme nous l’avons déjà prévu, une nouvelle expression pour la quantité de mouvement :

La masse relativiste augmente quand la vitesse augmente. Si la vitesse v est faible devant c, la masse mesurée est la masse au repos. Lorsque v®c, la masse relativiste tend vers une valeur infinie.

La vérification expérimentale de ces résultats théoriques a été faite de nombreuses fois. Dès 1909 (la théorie d’Einstein date de 1905) Buächener a obtenu la confirmation des résultats théoriques. Il a mesuré le rapport e/m (rapport de la charge électrique sur la masse) de l’électron et a trouvé qu’il était essentiellement constant aux faibles vitesses mais diminuait de plus en plus rapidement à mesure que la vitesse de l’électron approchait de celle de la lumière.