Dans un référentiel galiléen R₁, un point est caractérisé par les coordonnées d’espace (x₁, y_1, z₁) et la transformation de Galilée fait correspondre un point (x₁, y_1, z₁) d’un référentiel R₁ au point (x₂, y_2, z₂) du référentiel R₂ en translation uniforme par rapport à R₁.

En relativité restreinte, nous cherchons à faire correspondre par une transformation mathématique un quadruplet (x₁, y_1, z_1, t₁) caractérisant un événement observé dans le référentiel R₁ au quadruplet (x₂, y_2, z_2, t₂) caractérisant ce même événement observé dans le référentiel R₂ en mouvement de translation uniforme par rapport à R₁.

Écrivons cette transformation, supposée à première vue linéaire, de la façon suivante :

x₂ = a₁₀ + a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₀ + a₂₁x₁ + a₂₂y₁ + a₂₃z₁ + a₂₄t₁    

z₂ = a₃₀ + a₃₁x₁ + a₃₂y₁ + a₃₃z₁ + a₃₄t₁

t₂ = a₄₀ + a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁ .

Remarquons que les coefficients a_i0 correspondent à des translations des coordonnées. En utilisant l’homogénéité de l’espace, on peut toujours faire en sorte, par un choix judicieux des origines, que ces coefficients soient nuls; ceci revient à faire coïncider les événements origines (0,0,0,0) dans les deux référentiels. On obtient donc :

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂y₁ + a₂₃z₁ + a₂₄t₁

z₂ = a₃₁x₁ + a₃₂y₁ + a₃₃z₁ + a₃₄t₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁ .

 

Par ailleurs, on peut, dans chaque référentiel, faire en sorte que les axes O₁x₁ et O₂x₂ coïncident avec la direction de translation; nous traduirons cette propriété en écrivant que si y₁ = 0 et z₁ = 0, alors y₂ = 0 et z₂ = 0. Alors,

y₂ = 0 = a₂₁x₁ + a₂₄t₁

z₂ = 0 = a₃₁x₁ + a₃₄t₁.

 

d’où

a₂₁ = 0

a₂₄ = 0

a₃₁ = 0

a₃₄ = 0 .

On peut encore faire pivoter les axes autour de O₁x₁ et O₂x₂ de façon que les directions O₁y₁ et O₂y₂ d’une part, et O₁z₁ et O₂z₂ d’autre part, soient parallèles deux à deux; à z₁ = 0 doit correspondre z₂ = 0 , et à y₁ = 0 doit correspondre y₂ = 0. Alors,

y₂ = 0 = a₂₂·0 + a₂₃z₁

z₂ = 0 = a₃₁y₁ + a₃₃·0.

 

d’où

a₃₂ = 0

a₂₃ = 0 .

Le système d’équations initial peut donc se réduire à :

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁ .

Changeons enfin y₁ en –y₁, z₁ en –z₁, y₂ en –y₂ et z₂ en –z₂, les quatre autres coordonnées restant inchangées. Une telle transformation revient à faire tourner les axes de 180° autour de la direction de translation des référentiels qui coïncide avec la direction commune de O₁x₁ et O₂x₂. L’isotropie de l’espace veut alors que les formules de transformation restent inchangées; on en déduit alors que

a₁₂ = 0

a₁₃ = 0

a₄₂ = 0

a₄₃ = 0 .

En résumé, les propriétés générales d’homogénéité et d’isotropie de l’espace permettent de ramener les formules de transformation entre deux référentiels galiléens R₁ et R₂ en translation relative dans la direction commune de O₁x₁ et O₂x₂ au système

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₄t₁ .

On admet enfin que les deux observateurs O₁ et O₂ règlent leur horloge de telle sorte qu’à l’instant t₁ = t₂ = 0 les deux observateurs sont confondus. Un signal lumineux est émis à cet instant par O₁.

D’après le système (2), on voit que x₂ est proportionnel à x₁ et à t₁. Or, la coordonnée de l’observateur O₂ (x₂ = 0 dans R₂) est égale à tout moment à une certaine constante fois (x₁-v_et₁) où v_e est la vitesse relative entre R₁ et R₂. En effet, pour trouver la position d’un événement dans R₂ , il faut prendre la différence entre la coordonnée de cet événement dans R₁ et la distance v_et₁ qui sépare les deux référentiels. Le système (2) devient donc :

x₂ = a₁₁(x₁ – v_et₁)

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₄t₁ .

Au moment où les deux observateurs sont confondus, un signal lumineux est émis de leur position commune. Pour O₁, l’équation de la sphère produite par la lumière qui se propage dans toutes les directions est

x₁² + y₁² + z₁² = c²t₁²

 

car ct₁ est la distance parcourue par la lumière (et, par conséquent, le rayon de la sphère).

On réarrange l’équation :

L’observateur O₂, même s’il s’éloigne de O₁, voit lui aussi la lumière se propager en une sphère dont il est le centre. En effet, d’après le second postulat de la relativité, la lumière se propage à une vitesse constante. O₁ et O₂ mesurent donc une même vitesse pour la lumière. Pour O₂, l’équation de la sphère est

 Il s’agit du même signal lumineux, émis à t₁ = t₂ = 0. On compare (4) et (5) :

On obtient ainsi une relation entre les coordonnées de R₁ et celles de R₂. On substitue (3) dans (6) :

On développe (7) et on obtient des termes en :

x₁² : 1 = a₁₁² – a₄₁²c²

y₁² : 1 = ±a₂₂

z₁² : 1 = ±a₃₃

t₁² : -c² = a₁₁²v_e² – a₄₄²c²

x₁t₁ : 0 = -2a₁₁²v_e – 2a₄₁a₄₄c²

On doit prendre 1 comme valeur des constantes a₂₂ et a₃₃ pour respecter l’orientation des axes que nous avons choisie (à un y₁ ou un z₁ positifs correspondent un y₂ ou un z₂ positifs). Ainsi,

1 = a₂₂

1 = a₃₃

D’après (7.1) :

Élevons (7.5) au carré :

Substituons (7a) dans (7b) :

Réécrivons l’équation (7.4) :

Substituons (7d) dans (7c) :

Développons (7e) :

a₁₁⁴v_e² = a₁₁⁴v_e² – c² + a₁₁²c² – a₁₁²v_e²

a₁₁²(c² – v_e²) = c²

En portant (7f) dans (3), on se rend compte que seule la solution positive est correcte, car on doit retrouver la transformation de Galilée pour v_e/c ® 0. Ainsi,

De même, en substituant (7g) dans (7d) et en développant, on trouve :

où on a pris la valeur positive pour la même raison que précédemment.

De la même manière, on obtient, en substituant (7g) et (7h) dans (7.5) :

On vient ainsi de résoudre le système d’équation (3). Ce système s’appelle transformation de Lorentz :

y₂ = y₁

z₂ = z₁

Ainsi, en relativité restreinte, la transformation de Lorentz transforme non seulement les coordonnées d’espace mais aussi la coordonnée de temps. C’est ce point qui est le plus remarquable par rapport à la transformation de Galilée qui était jusqu’alors universellement admise.

La première conséquence immédiate de la transformation de Lorentz est le fait que v_e ne saurait être supérieure à c, l’expression sous le radical devenant négative. Il existe donc une vitesse limite pour les mouvements des corps matériels : c’est la vitesse c de propagation des phénomènes électromagnétiques dans le vide.

D’autre part, la transformation (8) exprime les coordonnées d’un événement vu par le référentiel R₂ en fonction des coordonnées du même événement vu par le référentiel R₁. La transformation inverse, qui consiste à donner les coordonnées d’un événement vu par R₁ en fonction de celles du même événement vu par R₂ s’obtient soit par manipulation algébrique, soit encore d’une manière plus simple en considérant que R₂ est fixe et que R₁ se déplace à la vitesse –v_e par rapport à R₂. La situation étant alors parfaitement identique à celle qui a permis d’obtenir la transformation de Lorentz (8), nous pouvons l’utiliser en substituant –v_e à v_e. On obtient ainsi la transformation de Lorentz inverse :

y₁ = y₂

z₁ = z₂