Transf Lorentz
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Dans un référentiel galiléen R1, un point est caractérisé par les coordonnées d’espace (x1, y1, z1) et la transformation de Galilée fait correspondre un point (x1, y1, z1) d’un référentiel R1 au point (x2, y2, z2) du référentiel R2 en translation uniforme par rapport à R1.

 

En relativité restreinte, nous cherchons à faire correspondre par une transformation mathématique un quadruplet (x1, y1, z1, t1) caractérisant un événement observé dans le référentiel R1 au quadruplet (x2, y2, z2, t2) caractérisant ce même événement observé dans le référentiel R2 en mouvement de translation uniforme par rapport à R1.

 

Écrivons cette transformation, supposée à première vue linéaire, de la façon suivante :

 

x2 = a10 + a11x1 + a12y1 + a13z1 + a14t1

y2 = a20 + a21x1 + a22y1 + a23z1 + a24t1    

z2 = a30 + a31x1 + a32y1 + a33z1 + a34t1

t2 = a40 + a41x1 + a42y1 + a43z1 + a44t1 .

(1)

 

Remarquons que les coefficients ai0 correspondent à des translations des coordonnées. En utilisant l’homogénéité de l’espace, on peut toujours faire en sorte, par un choix judicieux des origines, que ces coefficients soient nuls; ceci revient à faire coïncider les événements origines (0,0,0,0) dans les deux référentiels. On obtient donc :

 

x2 = a11x1 + a12y1 + a13z1 + a14t1

y2 = a21x1 + a22y1 + a23z1 + a24t1

z2 = a31x1 + a32y1 + a33z1 + a34t1

t2 = a41x1 + a42y1 + a43z1 + a44t1 .

 

Par ailleurs, on peut, dans chaque référentiel, faire en sorte que les axes O1x1 et O2x2 coïncident avec la direction de translation; nous traduirons cette propriété en écrivant que si y1 = 0 et z1 = 0, alors y2 = 0 et z2 = 0. Alors,

 

y2 = 0 = a21x1 + a24t1

z2 = 0 = a31x1 + a34t1.

 

d’où

a21 = 0

a24 = 0

a31 = 0

a34 = 0 .

 

On peut encore faire pivoter les axes autour de O1x1 et O2x2 de façon que les directions O1y1 et O2y2 d’une part, et O1z1 et O2z2 d’autre part, soient parallèles deux à deux; à z1 = 0 doit correspondre z2 = 0 , et à y1 = 0 doit correspondre y2 = 0. Alors,

 

y2 = 0 = a22·0 + a23z1

z2 = 0 = a31y1 + a33·0.

 

d’où

 

a32 = 0

a23 = 0 .

 

Le système d’équations initial peut donc se réduire à :

x2 = a11x1 + a12y1 + a13z1 + a14t1

y2 = a22y1

z2 = a33z1

t2 = a41x1 + a42y1 + a43z1 + a44t1 .

 

Changeons enfin y1 en –y1, z1 en –z1, y2 en –y2 et z2 en –z2, les quatre autres coordonnées restant inchangées. Une telle transformation revient à faire tourner les axes de 180° autour de la direction de translation des référentiels qui coïncide avec la direction commune de O1x1 et O2x2. L’isotropie de l’espace veut alors que les formules de transformation restent inchangées; on en déduit alors que

 

a12 = 0

a13 = 0

a42 = 0

a43 = 0 .

 

En résumé, les propriétés générales d’homogénéité et d’isotropie de l’espace permettent de ramener les formules de transformation entre deux référentiels galiléens R1 et R2 en translation relative dans la direction commune de O1x1 et O2x2 au système

 

x2 = a11x1 + a14t1

y2 = a22y1

z2 = a33z1

t2 = a41x1 + a44t1 .

(2)

 

On admet enfin que les deux observateurs O1 et O2 règlent leur horloge de telle sorte qu’à l’instant t1 = t2 = 0 les deux observateurs sont confondus. Un signal lumineux est émis à cet instant par O1.

 

D’après le système (2), on voit que x2 est proportionnel à x1 et à t1. Or, la coordonnée de l’observateur O2 (x2 = 0 dans R2) est égale à tout moment à une certaine constante fois (x1-vet1) où ve est la vitesse relative entre R1 et R2. En effet, pour trouver la position d’un événement dans R2 , il faut prendre la différence entre la coordonnée de cet événement dans R1 et la distance vet1 qui sépare les deux référentiels. Le système (2) devient donc :

 

x2 = a11(x1 – vet1)

y2 = a22y1

z2 = a33z1

t2 = a41x1 + a44t1 .

(3)

 

Au moment où les deux observateurs sont confondus, un signal lumineux est émis de leur position commune. Pour O1, l’équation de la sphère produite par la lumière qui se propage dans toutes les directions est

 

x12 + y12 + z12 = c2t12

 

car ct1 est la distance parcourue par la lumière (et, par conséquent, le rayon de la sphère).

On réarrange l’équation :

 

x12 + y12 + z12 - c2t12 = 0

(4)
 

L’observateur O2, même s’il s’éloigne de O1, voit lui aussi la lumière se propager en une sphère dont il est le centre. En effet, d’après le second postulat de la relativité, la lumière se propage à une vitesse constante. O1 et O2 mesurent donc une même vitesse pour la lumière. Pour O2, l’équation de la sphère est

 

x22 + y22 + z22 - c2t22 = 0

(5)
 

 Il s’agit du même signal lumineux, émis à t1 = t2 = 0. On compare (4) et (5) :

 

x12 + y12 + z12 - c2t12 = x22 + y22 + z22 - c2t22

(6)
 

On obtient ainsi une relation entre les coordonnées de R1 et celles de R2. On substitue (3) dans (6) :

 

x12 + y12 + z12 - c2t12 = a112(x1 – vet1)2 + a222y12 + a332z12 - c2(a41x1 + a44t1)2

(7)
 

On développe (7) et on obtient des termes en :

 

x1: 1 = a112 – a412c2

(7.1)

y1: 1 = ±a22

(7.2)

z1: 1 = ±a33

(7.3)

t1: -c2 = a112ve2 – a442c2

(7.4)

x1t: 0 = -2a112ve – 2a41a44c2

(7.5)

 

On doit prendre 1 comme valeur des constantes a22 et a33 pour respecter l’orientation des axes que nous avons choisie (à un y1 ou un z1 positifs correspondent un y2 ou un z2 positifs). Ainsi,

 

1 = a22

(7.2)

1 = a33

(7.3)
 

D’après (7.1) :

 

wpeF.jpg (1502 octets)

 

Élevons (7.5) au carré :

 

a114ve2 = a412a442c4

(7b)
 

Substituons (7a) dans (7b) :

 

a114ve2 = (a112 – 1)a442c2

(7c)
 

Réécrivons l’équation (7.4) :

 

a442c2 = a112ve2 + c2

(7d)
 

Substituons (7d) dans (7c) :

 

a114ve2 = (a112 – 1)(a112ve2 + c2)

(7e)
 

Développons (7e) :

a114ve2 = a114ve2 – c2 + a112c2 – a112ve2

a112(c2 – ve2) = c2

wpe11.jpg (1750 octets)

wpe12.jpg (843 octets)
 

En portant (7f) dans (3), on se rend compte que seule la solution positive est correcte, car on doit retrouver la transformation de Galilée pour ve/c ® 0. Ainsi,

 

wpe13.jpg (1724 octets)

wpe14.jpg (883 octets)

 

De même, en substituant (7g) dans (7d) et en développant, on trouve :

wpe15.jpg (2056 octets)

wpe16.jpg (2495 octets)

 

wpe17.jpg (1746 octets)

wpe18.jpg (875 octets)
 

où on a pris la valeur positive pour la même raison que précédemment.

 

De la même manière, on obtient, en substituant (7g) et (7h) dans (7.5) :

 

wpe19.jpg (1923 octets)

wpe1A.jpg (838 octets)
 

On vient ainsi de résoudre le système d’équation (3). Ce système s’appelle transformation de Lorentz :

 

wpe1B.jpg (1864 octets)

(8)

y2 = y1

z2 = z1

wpe1C.jpg (2046 octets)

 

Ainsi, en relativité restreinte, la transformation de Lorentz transforme non seulement les coordonnées d’espace mais aussi la coordonnée de temps. C’est ce point qui est le plus remarquable par rapport à la transformation de Galilée qui était jusqu’alors universellement admise.

 

La première conséquence immédiate de la transformation de Lorentz est le fait que ve ne saurait être supérieure à c, l’expression sous le radical devenant négative. Il existe donc une vitesse limite pour les mouvements des corps matériels : c’est la vitesse c de propagation des phénomènes électromagnétiques dans le vide.

 

D’autre part, la transformation (8) exprime les coordonnées d’un événement vu par le référentiel R2 en fonction des coordonnées du même événement vu par le référentiel R1. La transformation inverse, qui consiste à donner les coordonnées d’un événement vu par R1 en fonction de celles du même événement vu par R2 s’obtient soit par manipulation algébrique, soit encore d’une manière plus simple en considérant que R2 est fixe et que R1 se déplace à la vitesse –ve par rapport à R2. La situation étant alors parfaitement identique à celle qui a permis d’obtenir la transformation de Lorentz (8), nous pouvons l’utiliser en substituant –ve à ve. On obtient ainsi la transformation de Lorentz inverse :

 

wpe1D.jpg (1947 octets)

(9)

y1 = y2

z1 = z2

wpe1E.jpg (2039 octets)

   

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Dernière modification: 12 avril, 2003