Les Géométries Non-Euclidiennes

C'est dans le cadre du cours collégial Approche numérique dans la résolution de problèmes (204-Z10-LG) que nous avons réalisé cet imposant document. Sans prétendre qu'il constitue une référence absolue, ce texte avait pour objectif d'introduire l'ensemble des concepts reliés à ce sujet qui, avouons-le, est particulièrement déroutant. Notre équipe assoiffée de nouvelles connaissances étudie actuellement ( décembre 2002 ) en Sciences de la Nature au Collège Lionel-Groulx, à Sainte-Thérèse. Je vous présente ceux qui ont bien voulu que je publie leur nom :

Partie 1 : La Géométrie Euclidienne

Définitions

Vérité indémontrable mais évidente par quiconque en comprend le sens ( principe premier ). " Axiome " vient du grec axioma qui signifie « j'estime » et renvoie au sens « d'irréfutable. »

Postulat :

Principe d'un système déductif qu'on ne peut prendre pour fondement sans l'assentiment de l'auditeur. « Postulat » vient du latin postulaire qui signifie « demander ». Le postulat est donc une hypothèse de travail.

Euclide

Comme c'est le cas de tous les grands hommes qui ont peuplé l'Antiquité, il est difficile de savoir la date exacte de la naissance d'Euclide. Les historiens s'entendent en général pour le situer autour des années 300 avant J.-C. Il a vécu à Alexandrie, en Égypte. On n'en connaît pas vraiment d'avantage sur ce brillant homme, mis à part qu'il nous a laissé en héritage l'une des plus belles œuvres de l'histoire des mathématiques : Les Éléments. Jusqu'à ce siècle, c'était le livre le plus vendu après la Bible.

Son livre est constitué de treize tomes :

1. Géométrie plane élémentaire.
2. Celui-ci est consacré aux fondements de l'algèbre géométrique des grecs.
3. Il traîte des propriétés du cercle.
4. Étudie l'inscription et la circonscription de cercles avec des polygones réguliers.
5. Discute de la notion de proportion.
6. Géométrie et similitudes dans le plan.
7. Arithmétique ( plus grand diviseur commun, nombres premiers et nombres parfaits )
8. Idem.
9. Idem.
10. Nombres rationnels et grandeurs incommensurables
11. Géométrie dans l'espace.
12. Étude des figures solides.
13. Les polyèdres réguliers et les corps platoniciens.

Bien que la géométrie soit née quelques siècles avant lui, on considère souvent Euclide comme le fondateur de notre géométrie, qui porte d'ailleurs son nom. Il fut le premier à développer la géométrie de façon rigoureuse. C'est dans son premier livre qu'il expose de nombreuses définitions (35), axiomes (9) et postulats (6) ainsi qu'une centaine de théorèmes qui en découlent. ( Euclide nommait par contre ses axiomes « Notions communes » et ses postulats « Demandes ». ) C'est sur les bases d'Euclide que la géométrie fut enseignée pendant plus de 2000 ans ( et même encore de nos jours. )

Il est important de mentionner qu'à l'époque d'Euclide, et jusqu'à très récemment, la géométrie avait pour unique but de représenter la réalité. Euclide fondait donc ses principes sur des observations empiriques.

Axiomes

Les axiomes contenus dans le livre d'Euclide ressemblaient à ceci :

1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entre elles.
2. Si, à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.
3. Si, à des grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.
4. Si, à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les restes seront inégaux.
5. Si, à des grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux.
6. Les grandeurs, qui sont doubles d'une même grandeur, sont égales entre elles.
7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une même grandeur, sont égales entre elles.
8. Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont égales entre elles.
9. Le tout est plus grand que la partie.

On trouve parfois des références qui ne mentionnent que 5 axiomes différents légèrement de ceux ci-haut. Ils ne font en fait que regrouper des axiomes semblables, compte tenu du fait qu'ils traitent essentiellement tous d'égalité ou d'inégalité.

Postulats

1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence.
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
   Équivalent : Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.
6. Deux droites ne referment point l'espace.

Problème du cinquième postulat

Le but d'Euclide était d'énoncer le moins de postulats possibles mais qui étaient le plus évident possible pour tous. Il espérait que ceux-ci ne soient jamais remis en question. Voilà : pendant deux millénaires, beaucoup de gens ( dont Euclide lui-même ) pensaient que le cinquième postulat n'était pas vraiment nécessaire. On osait même affirmer que ce n'était pas un postulat compte tenu du fait que, contrairement aux autres, celui-ci est plus difficile à accepter. Dans le but de " trancher la question " une bonne fois pour toute, plusieurs mathématiciens ont tenté de prouver, à partir des quatre premiers, le cinquième postulat, qui serait alors devenu un théorème. Certains ont prétendu avoir réussi, mais tous utilisaient de façon implicite l'équivalent du postulat qu'ils tentaient de démontrer. Cela signifiait que le postulat des parallèles ne pouvait être déduit des autres. Certains, plus perspicaces, sont arrivés à des résultats intéressants en tentant de le prouver par l'absurde. Ils reniaient, tout simplement, le cinquième postulat et espéreraient ainsi arriver à une incohérence monstrueuse. Mais tel ne fut pas le cas. Sans le savoir, ils venaient en fait d'ouvrir la porte aux nouvelles géométries, dites " non euclidiennes. " Ces résultats étaient par contre tellement effrayants qu'ils ont préféré conclure que cela était impossible. En effet, ces géométries ne pouvaient être vraies puisqu'elles ne représentaient pas l'univers physique.

Remises en question

Crédibles ou non, ces résultats sont inévitablement venus ébranler les fondements des mathématiques, qui étaient de décrire le monde dans lequel nous vivons. On a toujours cru dur comme fer que les axiomes et les postulats représentaient de façon absolue la nature et que leur formulation n'était qu'une traduction intuitive des principes de Mère nature. Toute description allant à l'encontre de ces principes était nécessairement fausse. Les mathématiques étaient considérées comme une science détenant l'absolue vérité.

Ces résultats plus qu'étranges ont littéralement libéré les racines traditionnelles des mathématiques et ce, au-delà de la géométrie. Les mathématiques sont devenues une pure création de l'esprit et n'avaient plus aucune prétention de représenter la réalité. Il était désormais normal pour les mathématiciens que de choisir les axiomes et postulats ( dans le cadre de la géométrie ) avec lesquels ils souhaitaient travailler et de " jongler " avec cela pour leur simple plaisir, en autant que cela demeure cohérent. Ils n'avaient alors plus aucun soucis de savoir si cela représentait ou non le monde, prétendant que cela n'était maintenant plus de leur ressort. Depuis, on ne se pose même plus la question à savoir si une découverte en mathématique " sert " à quelque chose.

Le début des géométries non euclidiennes, reposant sur cette mentalité, provient d'une idée simple : remettre en question les biens fondés des postulats d'Euclide.

Précurseurs

Il imagina un quadrilatère ( ci-dessus ) dont les côtés AD et BC étaient de même longueur ( mais pas nécessairement parallèles ), ces côtés étant tous les deux perpendiculaire au troisième, AB. Remarquons qu'en géométrie euclidienne, les droites AD et BC seraient parallèles et les angles en D et en C seraient droits. Saccheri conclut qu'il y avait trois possibilités pour ces angles :

1°) les angles en C et en D sont tous les deux droits;
2°) les angles en C et en D sont tous les deux obtus;
3°) les angles en C et en D sont tous les deux aigus.

Les conclusions auxquelles aboutissent les 2e et 3e possibilités étaient tellement effrayantes que Saccheri pensait qu'il y avait une contradiction. Il n'ira pas plus loin dans son raisonnement.

Plus tard, le mathématicien suisse Jean-Henri LAMBERT (1728-1777) raisonnait d'une manière fort semblable. Il alla un peu plus loin que Saccheri dans son raisonnement mais lui non plus n'en déduisit pas que le 5e postulat était indépendant des autres.

Ensuite, Adrien-Marie Legendre poursuivit un peu plus loin en affirmant tout d'abord le résultat suivant :

Si la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés ( deux angles droits ) alors le cinquième postulat est vrai et réciproquement.

Il avait en fait préalablement prouvé que le cinquième postulat était équivalent au fait d'affirmer que la somme des angles à l'intérieur d'un triangle égalait 180 degrés. Il démontrait ensuite, à l'aide des quatre premiers postulats, de façon complète et rigoureuse, que la somme des angles dans un triangle ne pouvait pas être supérieure à 180°. Il réussit ensuite à faire la même chose pour une somme inférieur à 180°. En fait, il croyait avoir réussi. Mais comme tous ceux qui sont trop familiers avec les principes euclidiens, il n'a pas su percevoir les failles de son raisonnement.

Karl-Friedrich GAUSS (1777-1855) est sans doute le premier mathématicien à penser qu'il était impossible de démontrer l'axiome des parallèles. En 1816, il établit les fondements d'une géométrie dans laquelle on se passait de ce théorème. En 1792, il possédait déjà de vrais principes sur lesquels il a fondé ce qu'il a lui-même baptisé les géométries non euclidienne. Mais il n'osa jamais publier ses résultats, de peur qu'on le prenne pour un fou (on retrouva des documents relatifs à sa théorie à son décès en 1855)

Saccheri n’a pas su interpréter ses résultats, qui sont pourtant tous exacts. On verra en fait que, selon le résultat retenu, on obtient trois types de géométries, soit respectivement euclidienne, sphérique et hyperbolique.

PARTIE 2 : Géométrie de Lobatchevsky

Note : Pour les démonstrations de certains théorèmes de cette section, voir A survey of geometry de Howard Eves

La première géométrie non-euclidienne, la géométrie hyperbolique, ne se base que sur un seul principe. Lobatchevsky, ayant lui aussi un intérêt pour le postulat des parallèles, essaie de le prouver par l’absurde. Ainsi, sa géométrie, qu’il voulait rendre incohérente pour prouver le 5e postulat d’Euclide, commence comme suit :

Par un point C, il ne passe pas qu’une seule droite non-sécante à la droite AB, mais bien une infinité. C’est la négation du 5e postulat.

Il parait évident que les droites CK et CL’ sont sécantes à AB. Or, un des principes de base des géométries non-euclidiennes est qu’il ne faut pas se fier à notre intuition, qui est visuelle, pour faire des déductions trop hâtives. En continuant l’élaboration de cette géométrie, par une voie purement logique et non-intuitive, Lobatchevsky se renda compte qu’elle est totalement cohérente. Ainsi donc, le 5e postulat devint non-pas vrai, mais conditionnel à la géométrie euclidienne. Les droites qui passent par le point P se divisent donc en deux catégories : Les sécantes et les non-sécantes à AB. Les droites CK et CL’ sont les premières droites non-sécantes à AB. La droite CK est dite parallèle à AB et la droite CL’ est dite parallèle à BA. Les angles L’CD et KCD sont appelés angles de parallélisme et ce sont des angles aigus . En géométrie euclidienne, les angles de parallélisme sont toujours de 90 degrés. Les droites formant un angle supérieur à l’angle de parallélisme avec CD sont appelées droites divergentes ou hyperparallèles et ces droites ne croiseront jamais AB.

Triangles et angles

La droite BC est parallèle à la droite NM, donc les angles NAB et ABC sont congrus (alternes-internes). Les angles MAC et ACB le sont aussi. Donc, on retrouve les 3 angles du triangle sur la droite NM et leur somme égale 180 degrés. Toutefois, en géométrie hyperbolique, il existe une infinité de droites non-sécantes à BC, passant par A, et il est donc impossible de retrouver les 3 angles du triangle sur la droite NM. La conséquence de cette géométrie sur la somme des angles d’un triangle est qu’elle est toujours inférieure à 180 degrés. De ce fait, on définit : 180 – somme des angles d’un triangle = déficit du triangle

On appelle triangle limite un triangle ayant deux segments parallèles et le troisième reliant les 2 premiers. Si on trace un de ces triangle avec un angle droit, on retrouve un triangle ayant trois angles : l’angle droit, un angle de 0 degrés situé à l’infini vers la droite et un angle qui est l’angle de parallélisme entre les deux segments du triangle.

Nous savons déjà qu’en géométrie hyperbolique, l’angle BAC est un angle aigu. Faisons la somme de ces angles : 90 + 0 + BAC < 180 . Comme tous les triangles de cette géométrie, son déficit est positif et différent de zéro.

Représentation

Les concepts devenant de moins en moins « visualisables », la nécessité d’une représentation s’impose. La géométrie hyperbolique peut être visualisée en « l’émulant » en géométrie euclidienne plane. Un des modèles qui a été construit est celui de Henri Poincarré. Dans ce modèle, les théorèmes de base de la géométrie de Lobatchevsky sont tous respectés. Voici les parallèles du début :

Au fur et à mesure que nous nous éloignons du centre, les longueurs se contractent, de sorte que la circonférence du cercle délimite l’infini. Tout point se situant sur cette circonférence se situe à l’infini du plan hyperbolique.

Tous les segments jaunes ont la même longueur, ce qui les rend des rayons d’un cercle. Les segments sur l’autre figure sont chacun du double de la longueur de leur précédent. ( AB : ¼, AC : ½, AD : 1, AE : 2 …)

Ainsi donc, on englobe un plan infini sur une surface finie. Les segments que nous voyons paraissent, sous notre esprit euclidien, courbe, mais en fait, ils correspondent aux plus courtes distances entre 2 points, ce qui fait d’eux des droites. Avec cette représentation on voit facilement l’infinité de droites divergentes à AB passant par C :

Les géométries en général peuvent parfois être vues par une surface dans une autre géométrie. Par exemple, la géométrie sphérique, une géométrie non-euclidienne, peut être vue comme la surface d’une sphère dans un espace euclidien. De la même façon, le plan de Lobatchevsky est, dans un espace euclidien, une pseudosphère. Celle-ci peut être représentée localement par différents modèles. Par contre, David Hilbert a prouvé qu’il n’existe aucun modèle qui la représente dans sa totalité. Voici ce à quoi ressemble, localement, la pseudosphère :

Dessinez la plus courte distance entre deux points sur cette surface. La surface vue de haut, vous réaliserez que votre droite ressemble à une courbe.

Aire d’un triangle

Nous verrons que le l’aire d’un triangle a une relation très intime avec le déficit de ce triangle.
Définition : deux triangles pouvant être décomposés en parties identiques sont appelés congrus par addition. De ce fait, deux triangles congrus par addition ont la même aire.
Droite cévienne : droite qui passent par le sommet d’un triangle. Exemples : médianes, hauteurs, bissectrices.

Théorème : Si un triangle est divisé en deux triangles par une droite cévienne, alors le déficit du triangle égale la somme des déficits des triangles ainsi créés.

Preuve :
Déficit(ABC) = 180 – (a₁+a₂+b₂+g₁) = 180 -(a₁+a₂+b₂+g₁) + 180 - (g₂+b₁)
= [180 - (a₁+b₁+g₁)] + [180 - (a₂+b₂+g₂)]
= Déficit(ADC) + Déficit(ABD)

On peut appliquer ce principe plusieurs fois pour constater que le déficit d’un triangle est égal à la somme des déficits des triangles en lesquels nous l’avons décomposé.

Nous voyons que, comme l’aire, les déficits s’additionnent quand on bâtit des figures par addition de triangles. Quelques autres théorèmes prouvent que deux triangles ayant le même déficit sont congrus par addition, donc possèdent la même aire. Ainsi donc, nous avons tout ce qui est nécessaire pour définir l’aire d’un triangle, mesurable avec son déficit, et proportionnelle à celui-ci.

Aire d’un triangle

Aire = k × Déficit de ce triangle

La constante k dépend de l’unité de mesure d’aire que nous voulons définir. De cette relation, on remarque facilement qu’il existe une aire maximale à tout triangle, car le déficit maximal est de 180 (La somme des angles d’un triangle ne peut être négative). L’aire maximale est donc de 180 × k. De plus, on voit que plus l’aire diminue, plus le déficit diminue, et donc plus le triangle s’approche d’un triangle euclidien. De fait, la géométrie euclidienne est un « cas limite » de la géométrie hyperbolique.

Finalement, voici quelques illustrations de figures « familières » de la géométrie euclidienne :

Les 3 hauteurs d’un triangle concourant en un point.

Le quadrilatère ayant 4 angles de 90 degrés, mieux connu sous le nom de rectangle, n’existe pas en géométrie de Lobatchevsky.

Un polygone peut toujours être vu comme une composition de triangles.

Partie 3 : La Géométrie Sphérique

Biographies of Mathematicians - Riemann par Steven Patterson et Drew Dodge
http://www.andrews.edu/~calkins/math/biograph/bioriema.htm

Contrairement à ce que l’on peut penser, une des premières géométries à avoir intéresser les grands peuples Babyloniens, Arabes et Grecs a été la géométrie sphérique. En effet, s’intéressant à l’étude de la Terre et la mesure exacte du temps, ces peuples ont donc dû assimiler la terre à une sphère et inventer cette fameuse géométrie essentielle à l’astronomie.

Actuellement, la géométrie sphérique est considérée comme l’œuvre du mathématicien Riemann – puisqu’il a été un des pionniers dans la matière. On appelle donc régulièrement la géométrie sphérique géométrie de Riemann.

La géométrie euclidienne traite principalement des droites et des points et de leurs interactions. La géométrie sphérique, elle, s’intéresse aux mêmes notions. Mais précisons d’abord ce qu’on entend par « droite » en géométrie sphérique, comme dans toute autre géométrie.

Une droite c’est la distance la plus courte entre deux points.

On se rend vite compte qu’en prolongeant la plus courte distance entre nos deux points on obtient un équateur. Ce qui nous amène à énoncer ce qu’est un équateur : c’est l’intersection entre une sphère et un plan passant par son milieu. Partant de là, on peut tout de suite voir que le cinquième postulat euclidien – il existe une seule droite parallèle à une droite D et passant par un point P (où P n’est pas élément de D) – n’est pas vrai dans la géométrie de Riemann. En fait, il n’existe pas de droite parallèle en géométrie sphérique. En effet, la distance entre deux équateurs non confondus (l’équivalent des droites) n’est pas constante.

De plus, selon le deuxième postulat d’Euclide, une ligne infinie peut être prolongée indéfiniment. Cette affirmation est fausse dans la géométrie de Riemann. Toutes les droites sont de même longueur (2pR).

Fig. 1 : Plan de la géométrie sphérique

Il y aussi une autre propriété peut-être moins évidente ( que nous allons bien sûr prouver ) que voici : Dans un triangle inscrit sur une sphère la somme des angles intérieurs est supérieur à deux droits.

Voyons d’abord ce qu’est une lune.

Fig. 2

C’est la région comprise entre deux équateurs et leurs points antipodes qui forment un diamètre. L’angle téta compris entre les deux équateurs est aussi l’angle entre les plans circulaires P1 et P2. Imaginons-nous donc une lune dont l’angle entre les deux équateurs est de p/2 radian.

Fig. 3

On a donc l’égalité suivante :

Pour J = p/2
On a une aire égale à ¼ de celle de la sphère totale

Donc pour une valeur J
Quel est l’aire de la lune?

Faisons une proportion. On a

Aire d’une lune = J(¼ 4 p R²) / (½ p)

Aire d’une lune = 2 J R²

Ceci étant fait, nous pouvons maintenant calculer l’aire d’un triangle, qui, remarquons, dépend des angles intérieurs. En calculant l’aire de ce triangle, on pourra savoir quelle est la relation entre les angles intérieurs du triangle. on sera ainsi en mesure de vérifier si leur somme est bel et bien plus grande que deux angles droits.

Voici donc un triangle .

Nommons les triangles par leurs angles intérieurs correspondants (a, b, g)

On sait que l’aire en haut de l’équateur passant par les points A et B est de ½ 4 p R². Voyons à quoi cela est égal en terme de lune et d’aire de triangle.

On peut prendre la lune b. Cela donne donc ceci. Maintenant, pour compléter l’aire de notre hémisphère supérieur, il faut additionner la lune c amputée d’un aire DABC et la lune a amputée d’une aire DABC.

On a donc l’équation :

2pR² = 2 b R² + (2aR² - DABC ) + (2gR² - DABC )

Après quelques simplifications :

Aire DABC = R² ( a + b + g - p)

On voit donc clairement que pour que l’aire soit positive (sinon elle n’a pas de sens) il faut que a + b + g - p ³ 0. Donc ( a + b + g ) ³ p ou encore ( a + b + g ) ³ 180 °. De plus, l’aire maximale du triangle DABC ne pouvant être supérieure à un hémisphère – puisque l’aire est la surface intérieure délimitée par trois points – on a donc :

Aire DABC = R² ( a + b + g - p )
2p R² = R² ( a + b + g - p )
donc, 0 ³ (a + b + g) ³ 3p

Mettons maintenant en relation directe nos trois angles (a, b, g) dans notre triangle.

Ainsi la sphère qu’on est habitué de définir de la sorte :

Sr = {(x, y, z) | x² + y² +z² = R²}

devient, avec les coordonnées rectangulaires:

Sr = {(Rcos(q)cos(f),Rsin(q)cos(f), Rsin(f) | 0 £ q £ 2p, 0 £ f £ p}

qui sont en fait la position de chaque point dans l’espace par rapport à une origine – le centre de la sphère.

Donc, on pose un point A ses coordonnées étant A (R ,0 ,0)

Les coordonnées du point C sont
C (Rcos(b)cos(0), Rsin(b)cos(0), Rsin(0))
donc C (Rcos(b), Rsin(b), 0)

Les coordonnées du point B sont
B (Rcos(b)cos(a), Rsin(b)cos(a), Rsin(a))

On veut maintenant connaître l’angle g qui est dans le plan AOB. On peut dire aussi que c’est l’angle entre le vecteur et le vecteur . Donc, pour connaître cette angle, faisons un produit scalaire.

= (Rcos(b)cos(a), Rsin(b)cos(a), Rsin(a))

= (R, 0, 0)

Les angles sont évidemment mesurés en radians. Un radian c’est :

On obtient donc

On peut donc exprimer notre formule de cette façon :

Regardons aussi ce que l’on peut faire avec notre bonne vieille série de cos(x)

Étant donné qu’on a

on peut écrire

Quand , on trouve le bon vieux théorème de Pythagore. En fait, c’est le cas limite : un très petit triangle sur une grosse sphère, c’est presque un triangle euclidien, comme nous le prédit la formule
Aire DABC = R² ( a + b + g - p ). Donc, à ce moment-là, on peut utiliser notre théorème classique.

Partie 4 : La Forme de l'Univers

Les graphiques présentés dans cette section sont approximatifs et n'ont pour objectif que de donner un aperçu général. Ils ne représentent que les fonctions de base, sans tenir compte des paramètres.

Bien que les géométries non-euclidiennes aient été inventées pour contredire le cinquième postulas d’Euclide, elles ne sont pas sans liens avec la réalité physique. Leur importance est capitale pour expliquer la relativité d’Einstein et pour bien s’imaginer la forme de l’univers selon celle-ci.

Nous savons pour la plupart que la théorie la plus répandue sur la création de l’univers est qu’il aurait été créé à partir d’une gigantesque explosion que nous appelons le big bang. Suite à cette explosion, la température se serait refroidit, laissant la matière se former.

Ensuite, l’univers a continué de grandir dans tous les sens et, avec le temps, les galaxies, leurs étoiles et leurs planètes se sont formées. En partant de cette idée, les physiciens s’imaginent que toutes les galaxies s’éloignent l’une de l’autre et, bien sûr, s’éloignent du point d’origine. Alors, de ce point, les physiciens ont tenté d’évaluer l’âge de notre univers. Mais, encore aujourd’hui, on ne connaît pas son âge exact car on ne connaît pas sa forme exacte.

Selon les physiciens, si nous regardons 2 galaxies A et B à partir du point d’origine (O) la distance entre A et B ( d ) varie selon la distance r ( r = distance entre le point O et la galaxie A = distance entre le point O et la galaxie B ) et l’angle q (angle observé entre les galaxies en radians) :

d=rq

Cette formule correspond à la réalité dans un espace euclidien mais plusieurs observations font pencher les physiciens vers l’idée que l’univers est courbe. Par exemple, lorsque les physiciens essaient de prévoir la position de Mercure en utilisant la géométrie euclidienne habituelle, ils constatent un certain écart entre la réalité observée et les prévisions théoriques. Ils ont alors réessayé en tenant compte d’une courbure due au Soleil et il est alors apparu que ces résultats correspondaient bien mieux aux observations.

Dans un univers courbe, la relation donnée précédemment semble bien correspondre à la réalité, mais plus on observe à une grande distance (plus r augmente), plus cette équation deviens inexacte et s’éloigne de la réalité. Donc, on peut dire que notre univers semble localement euclidien mais que sa courbure deviens de plus en plus évidente lorsque l’on s’éloigne.

Avant de plus aborder le concept de courbure de notre univers, nous devons tenter comprendre comment notre univers tridimensionnel peut se courber. Afin de faciliter la compréhension de ce concept, nous allons commencer par faire une comparaison entre notre univers (en 3D) et la Terre (en 2D), où nous devrons nous limiter à sa surface afin de rester en deux dimensions. Aussi, imaginons-nous que nous sommes des fourmis afin d’accentuer le fait que nous ayons l’impression que l’univers soit plan. Imaginons-nous que nous sommes à un pôle (O) de la Terre et que voulions faire un cercle ayant pour centre ce pôle et que pour faire le cercle, nous nous éloignions également à une distance r de ce pôle. Pour les fourmis, ce cercle serait bien plan car ils ne verraient jamais la courbe de la Terre. Mais, vu de l’extérieur, ce cercle paraîtrait comme un des parallèles de la Terre. Si les fourmis essayaient de calculer la circonférence de leur cercle, ils prendrait comme rayon la longueur d’arc qu’ils ont parcouru, r. Ceci leur donnerait comme circonférence C = 2pr. Mais, à leur grande surprise, lorsqu’ils se déplacent le long de leur cercle en le mesurant, il se rendent compte que la valeur calculée ne correspond pas du tout à la valeur mesurée. Pour nous, de l’extérieur, cela serait facilement explicable car nous pourrions voir que le rayon réel (d) du cercle est en fait la distance de la circonférence du cercle à l’axe passant par le pôle O et le centre (C) de la Terre. Ce rayon nous donne une circonférence bien différente de celle des fourmis. C’est cette comparaison entre la surface bidimensionnelle courbe et notre univers tridimensionnel qui représente notre monde réel. C’est justement ce qui pose problème pour la visualisation car comment pourrions-nous courber un volume dans une quatrième dimension? La bonne réponse à cette question est que c’est impossible car nous ne pouvons pas sortir de notre univers. Nous ne pouvons que faire appel à notre esprit d’abstraction pour imaginer ceci.

On peut alors représenter la distance d’un objet par son rapport au rayon de l’univers à l’aide de l’équation suivante :

r = ax

où la variable « a » représente le rayon de notre univers. Il est plus commode de mesurer r par rapport à a en se basant sur le rapport sans dimension X = r / a. Ce rapport se comporte dans les équations comme un angle (compris entre 0 et p ). Ce type de comparaison entre une distance et un angle correspond tout à fait à une représentation non-euclidienne de l’univers et c’est par cet angle que l’on va définir la courbure de celui-ci.

Cette courbure peut être soit positive (semblable à la géométrie sphérique) ou négative (semblable à la géométrie hyperbolique). Tout dépend de la forme de notre univers. C’est ce que tentent de déterminer les physiciens, mais la tâche n’est pas simple comme nous allons le voir plus bas. Voyons maintenant que deviennent les formules si notre univers est courbe :

Univers de courbure positive Univers fini ( fermé ) d=a(sin x)q

Univers de courbure négative Univers infini (ouvert ) d=a(sinh x)q

La variable « a » n’est pas connue, il faut donc la trouver à partir de r, d et q . Les graphiques ci-dessus représentent sin(x) et sinh(x).

Mais si nous isolons « a » avec notre équation de départ r=ax , nous trouvons deux autres relations différentes qui reviennent au même mais qui sont exprimées sans la variable « a ».

d = r ( sin(x) / x )q

d = r ( sinh(x) / x )q

On remarque que la distance d dans un univers de courbure positive est toujours plus petite que la distance calculée selon un univers euclidien (car sin(x) / x est toujours inférieur à 1 - voir graphique ci-dessus). À une distance radiale r égale au rayon d'univers a, la variable x est égale à l'unité (par définition) et sin(x) / x est égal à 0,84 : la distance est donc 16% plus faible que la formule euclidienne ne l'indiquerait. Aussi, on observerait le contraire avec la formule de l’univers courbe négatif, la distance est toujours supérieure car sinh(x) / x est toujours supérieur à 1 et sinh(1)/1 = 1,175, ce qui est 17,5% supérieur au résultat venant de la forme euclidienne.

Mais les formules précédentes ne sont pas encore parfaites car elles ne tiennent pas compte de l’expansion de l’univers. Ce qui varie lors de l’expansion de l’univers, c’est le rayon a (distances en années de lumière) de l’univers par rapport au temps t ( années ). Ces deux variables sont plutôt représentées sous forme paramétrique, c’est à dire qu’elles sont représentées par la fraction qu’ils représentent dans leur ensemble. Aussi, pour un univers fini, le rayon d’un univers est représenté par une fraction rapportée sous une forme angulaire, où p représente le rayon maximal de l’univers et où la phase d’expansion s’achève et où il entre dans sa phase de contraction. Pour un univers infini, n varie entre 0 et l’infini et « a » grandit infiniment.

a = (A/2)(1 - cos h)

a = (A/2)(cosh h - 1 )

Les graphiques ci-dessus représentent comment varie ces fonctions :

Dans ces formules, A est un paramètre qui caractérise l’univers dans son entier. L'interprétation physique de ce paramètre A est la suivante. On constate par les équations que pour des valeurs moyennes de n, l'âge de l'univers devient du même ordre de grandeur que son rayon a (alors qu'à l'origine, t est infiniment plus petit que a) et tous deux deviennent ensemble du même ordre de grandeur que le fameux A. À ce stade, la courbure de l’univers peut être détectée car la profondeur d'espace explorée est assez grande (alors que ce n'était pas le cas auparavant). Cet âge A représente donc l'âge adulte de l'Univers. Il varie d'un univers à l'autre et caractérise la rapidité d'évolution (en années) de chacun. Nous appellerons donc ce paramètre l’« âge adulte » de l’univers. Aussi, le paramètre « A » représente, dans les formules du rayon de l’univers, le rayon maximal de l’univers lors de son expansion maximale.

En conséquence, si nous pouvons déterminer le sens de la courbure de l’univers, nous pourrions déterminer s’il est fini ou infini et comment il finira. C’est ce que tentent de faire les physiciens, car, selon Einstein, le destin de l’univers dépend de la densité de matière dans l’univers par rapport à une densité critique. Ce rapport se nomme W (oméga).

W = densité de matière observée / densité de matière critique

Si W est au-dessus de 1, après un certain moment la gravité causée pas la matière reprendra le dessus sur l’extension de l’univers. À ce moment, l’univers commencera à rétrécir et à se diriger vers un big crunch. Donc, si nous trouvons que c’est le cas notre univers, nous pourrons croire qu’il possède une courbure positive et qu’il serait fermé.

Cependant, l’opposé est aussi vrai. Si W est en dessous de 1, l’univers continuera de s’étendre jusqu'à l’infini, donc la courbure de l’univers serait négative. La vitesse d'expansion de l'univers, mesurée par observation par la constante de Hubble, est donnée par les formules suivantes :

H = (1/a)(da/dt) = (2/A)sin h(1 - cos h)-2

H = (1/a)(da/dt) = (2/A)sinh h(1 - cosh h)-2

Les graphiques ci-dessus montrent comment varient ces fonctions par rapport à n :

Trepy, Janvier 2003